高校强基计划数学资料 2024年上海交大强基计划笔试数学真题回忆版

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本文目录一览：

• 1、2023年中科大强基计划数学笔试真题及参考答案（完整版）
• 2、高中数学不等式强基计划补充内容：Jensen（琴生）不等式及其应用
• 3、2024年上海交大强基计划笔试数学真题回忆版

2023年中科大强基计划数学笔试真题及参考答案（完整版）

2023年中科大强基计划数学笔试真题及参考答案概览

2023年中国科学技术大学的强基计划数学笔试于6月11日上午举行，考试时长90分钟，包括4道填空题和4道解答题，总分100分。物理部分同样设满分为100分。

这份题目是考生的回忆版本，经过校验后提供一份参考答案，供参考和相互校正。今年的试题难度相较于去年有所降低，全国统一分数线设为78/200分，这意味着分数分布有一定的区分度，优秀的数学表现有可能超过这个分数线。 飞卢网

以下是部分试题的公式：

1. [公式]


2. [公式]


3. [公式]


4. [公式]


5. [公式]


6. [公式]


7. [公式]

请注意，这些建议仅供参考，实际成绩仍需根据官方发布的正式答案为准。祝所有考生考试顺利！

高中数学不等式强基计划补充内容：Jensen（琴生）不等式及其应用

Jensen不等式是数学竞赛中常用的不等式工具，以下内容将详细解析Jensen不等式及其应用。
首先，函数的凹凸性是理解Jensen不等式的前提，从直观上理解，如果函数图像呈向上弯曲则为凸函数，反之则为凹函数。具体而言，如果函数在区间[a, b]上的导数为正，且其二阶导数也为正，则该函数为严格凸函数。
Jensen不等式的核心内容为：对于一个严格凸函数f，在区间[a, b]上，任意选取一组权重值λi（i=1, 2, ..., n）满足λi ≥ 0且∑λi = 1，有f(∑λixi) ≤ ∑λif(xi)。当取等条件成立时，即所有xi相等。
接下来，通过例题进行应用解析。例题1为2008年南京大学自主招生题目，题中给定函数f(x) = xlnx + (1-x)ln(1-x)，要求证明f(x)在区间(0, 1)上单调递增。通过求导可得f'(x) = ln(x/(1-x)) + 1，取导数为f''(x) = ln((1-x)/x) > 0，表明函数f(x)在区间(0, 1)上严格凸。根据Jensen不等式，可以得到f((x+(1-x))/2) ≤ f(x)/2 + f(1-x)/2，即f(x)在区间(0, 1)上单调递增。
例题2与例题3中，重点在于对函数的二阶导正性的判断，通过求导并验证二阶导数的正性，可以判断函数是否为严格凸函数，从而应用Jensen不等式解决问题。
总体而言，Jensen不等式在处理不等式问题时提供了有效的工具，其核心在于理解函数的凹凸性与凸性，并借助严格的数学证明方法进行应用。

2024年上海交大强基计划笔试数学真题回忆版

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在2024年上海交大强基计划的数学笔试中，众多考生感受到了题目价值的相对降低，尽管其出题风格与清华强基计划接近，并且包含一定数量的高考题目类型。应对策略建议考生集中精力在自己熟悉的题目上，并采取合理的猜测答案策略。这次笔试于2024年6月11日举行，设有数学和物理（或化学）两个部分，每部分40题，满分为300分。相较于去年，数学部分的难度有所上升，包含了3分和5分的题目，后者考查的是拓展内容。选择题的形式与去年保持一致，为五选一，答对得分，答错扣分，不选则无分。以下是一些具体的数学题目示例：
1. 已知 $x \in(0,+\infty), f(x)>0$ 且 $f(x)+f'(x)<0$，求函数 $f(x)$ 的性质。
2. 计算 $c$ 的值，即 $444^{444}$ 的各位数字之和，然后求其和的各位数字之和。
3. 求多项式函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的最小值 $a$，使得在特定区间上 $f(x)$ 的绝对值小于1。
4. 确定实数 $\omega$ 的取值范围，使得不等式 $\frac{x+\sqrt{3}y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 成立。
5. 讨论一元二次函数 $y=x^2+ax+b-2$ 在区间 $|x|\geqslant2$ 上与x轴交点的性质，及其与 $a^2+b^2$ 的关系。
6. 计算 $(1-\omega)(1-\omega^2)\cdots(1-\omega^{n-1})$ 的值。
7. 当复数 $z$ 满足 $|z|=1$ 时，求 $|z+iz+1|$ 的最小值。
8. 求双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 与圆 $x^2+y^2=9$ 的交点相关线段的长度。
9. 确定过点 $P(1,1)$ 的直线与抛物线 $y^2=2x$ 交点的条件。
10. 求 $\triangle P M N$ 的面积最小值，其中 $P$ 是抛物线上的中点。
以上是部分考题的回忆版，它们展示了当年强基计划数学笔试的难度与考查范围。

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